Matematica

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In seguito si riportano i contenuti di "Matematica" previsti dalle attuali  linee guida per i Licei, per Istituti Tecnici, Professionali e per i quali il professore offre con successo da anni assistenza ai propri allievi.

Alcune unità didattiche affini in questa pagina sono state accorpate: tale circostanza non lede assolutamente la qualità di tali lezioni ma è semplicemente dettata da esigenze di comprensibilità e leggibilità del sito.

Relativamente a qualsiasi argomento, le lezioni comprendono gli aspetti più formali (dimostrazioni e teoremi tipici dei progammi di liceo), la parte numerico-esercitativa (anche quest'ultima tarata in funzione del corso frequentato) e infine, se prevista, la sezione di laboratorio con applicativi quali Derive, Winplot, Cabri, Excel, Mathematica, Matlab.

 

Modulo

Argomenti

INSIEMI

e

INTRODUZIONE

ALLA LOGICA

Introduzione agli insiemi

Rappresentazione degli insiemi

Operazioni fondamentali con gli insiemi

Relazioni di De Morgan

Partizione di un insieme

Prodotto cartesiano e sua rappresentazione

Introduzione alla logica, logica degli enunciati

Operazioni con le proposizioni

Tautologie, regole di deduzione

La logica dei predicati

Condizione necessaria, condizione sufficiente, condizione necessaria e sufficiente

Tavole della verità

Esercizi

RICHIAMI

DI

ARITMETICA

Operazioni nell'insieme N: addizione, moltiplicazione, sottrazione, divisione

Proprietà delle potenze

Espressioni aritmetiche

Scomposizione in fattori primi, mcm, MCD

Operazioni frazioni nell'insieme dei numeri razionali relativi

Numeri decimali, frazioni generatrici

Esercizi

SISTEMI

DI

NUMERAZIONE

Rappresentazione dei numeri

Da una base all'altra: dalla base 10 ad una base qualunque e viceversa

Oprazioni in base 2

Esercizi

 CALCOLO LETTERALE

Espressioni algebriche letterali

Monomi: definizioni; monomi uguali, opposti, simili; operazioni tra monomi, mcm e MCD tra monomi

Polinomi: definizioni, grado, operazioni elementari con polinomi

Prodotti notevoli: qudrato di binomio, quadrato di un polinomio, prodotto somma per differenza, cubo di un binomio, potenza di un bonomio, triangolo di Tartaglia

Divisione tra due polinomi: criterio di divisibilità, regola di Ruffini, teorema del resto

Scomposizione di un polinomio: raccoglimento parziale e totale a fattor comune, trinomio sviluppo del quadrato di un binomio, polinomio sviluppo di un quadrato di un trinomio, binomio differenza di due quadrati, quadrinomio sviluppo del cubo di un binomio, somma o differenza di due cubi, trinomio caratteristico

Esercizi 

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO 

Equazioni letterarie intere

Principi di equivalenza

Risoluzione di un'equazione di I grado

Equazioni frazionarie numeriche ed eq. frazionarie letterarie

Formule diretta e formula inversa 

Esercizi

ELEMENTI

DI

GEOMETRIA 

Introduzione: primi assiomi, concetto di congruenza

La congruenza e i triangoli: poligoni e triangoli, primi due criteri di congruenza dei triangoli, proprietà del triangolo isoscele

Parallelismo e perpendicolarità nel piano

Isometrie nel piano: concetto di trasformazione geometrica, le isometrie (assiale, centrale, traslazione e rotazione), prodotto di trasformazioni

Parallelogrammi e trapezi: i quadrilateri, i parallelogrammi, isometrie, trapezio, corrispondenza di Talete

Circonferenza e poligoni: concetto di equivalenza, criteri di equivalenza tra poligoni, teoremi di Euclide e Pitagora

Omotetia e similitudine: Ingrandimenti e riduzioni, omotetia e sue proprietà, la similitudine: definizione e prime proprietà, similitudine nei triangoli, proprietà dei triangoli simili

Rette, piani, figure nello spazio: perpendicolarità fra rette e piani, il parallelismo nello spazio, diedri, perpendicolarità nello spazio, i poliedri, solidi di rotazione

Esercizi

 SISTEMI

DI

EQUAZIONI 

Metodi di risoluzione di un sistema: medoto della sostituzione, metodo della riduzione, metodo del confronto, metodo di Cramer

Sistemi determinati, indeterminati, impossibili

Sistemi letterali

Risoluzione grafica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite

Problemi di primo grado a due o più incognite

Esercizi

I RADICALI

Proprietà invariantiva  e la semplificazione di un radicale

Operazioni con i radicali: moltiplicazione e divisione, trasporto di un fattore dentro e fuori dal simbolo di radice, potenze di radicali, radice di un radicale

La razionalizzazione

Radicali quadratici doppi, radicali algebrici, potenze ad esponente razionale

Esercizi

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Caratteristiche generali

La risoluzione: risoluzione delle equazioni incomplete, risoluzione delle equazioni complete

Numeri immaginari e numeri complessi

Equazioni letterarie ed equazioni parametriche

Legami tra soluzioni e coefficienti

Equazioni con i moduli

Zeri di una funzione

Sistemi di equazioni di secondo grado

Esercizi

 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Segno del trinomio caratteristico

Disequazioni di 2° grado: schema risolutivo in base al segno del discriminante

Sistemi di disequazioni

Disequazioni con i moduli

Disequazioni razionali fratte

Esercizi

 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

ED

EQUAZIONI IRRAZIONALI

 Equazioni irrazionali: equazioni con un solo radicale, equazioni con due o più radicali

Disequazioni irrazionali con indice pari 

Disequazioni irrazionali con indice dispari

Equazioni binomie 

Equazioni triniomie

Esercizi

GEOMETRIA ANALITICA 

La retta

Distanza tra due punti di una retta, distanza di due punti nel piano

Coordinate del punto medio di un segmento

Equazione della retta in forma implicita, in forma esplicita, in forma segmentaria, forma parametrica

Intersezione di due rette

Condizione di parallelismo e di perpendicolarità di due rette

Distanza di un punto da una retta

Fascio di rette

Equazione della bisettrice di un angolo

Coordinate del baricentro, ortocentro, circumcentro di un triangolo

Esercizi

LE CONICHE 

CIRCONFERENZA: Equazione della circonferenza noti il centro e il raggio, Intersezione di una circonferenza con una retta, Intersezione di due circonferenze e asse radicale, Circonferenza determinata da tre punti, Tangente ad una circonferenza in un suo punto, Tangenti ad una circonferenza da un punto esterno, Equazione parametrica di una circonferenza;

ELLISSE: definizione, equazione dell'ellisse, costruzioni per punti, eccentricità, retta tangente e retta normale ad un'ellisse in un suo punto, retta tangente da un punto esterno, proprietà dei fuochi, determinazione dell'equazione dell'ellisse passante per due punti assegnati, rototraslazione dell'ellisse, equazioni parametriche;

IPERBOLE: definizione, equazione dell'iperbole, costruzione dell'iperbole per punti, asintoti, iperbole equilatera, retta tangente e retta normale ad un iperbole in un suo punto e da un punto esterno, proprietà dei fuochi, ulteriori proprietà dell'iperbole, la rototraslazione dell'iperbole, equazioni parametriche;

PARABOLA: definizione, equazione della parabola rispetto all'asse delle escisse e rispetto all'asse delle ordinate, costruzioni per punti, eccentricità, retta tangente e retta normale in un suo punto e da un punto esterno, proprietà della parabola, distanza di un punto della parabola dal suo fuoco, rototraslazione della parabola, asse della parabola,  fascio di parabole, equazioni parametriche

Esercizi

 ALGEBRA LINEARE

Le matrici: definizione

Operazioni algebriche: uguaglianza, somma, differenza, prodotto di uno scalare per una matrice, prodotto di due matrici, potenza n-sima di una matrice quadrata

Determinante di una matrice quadrata, proprietà dei determinanti

Teoremi di Laplace

Metodo di Gauss

Matrice inversa di una matrice quadrata: metodo di Jordan

Rango o caratteristica di una matrice

Sistemi lineari: proprietà

Risoluzione di sistemi lineari: non omogeni di n equazioni in n incognite, omogeni di n equazioni in n incognite, omogeni di n equazioni in p incognite, non omogeni di n equazioni in p incognite

Matrice inversa generalizzata

Regola di Cramer

Autovalori e autovettori: proprietà ed operazioni

Esercizi

LOGARITMI

ED

ESPONENZIALI 

Proprietà delle potenze a esponente razionale

Geneneralità sulle equazioni esponenziali

Definizione di logaritmo

Proprietà dei logaritmi

Tavole dei logaritmi decimali

Equazioni logaritmiche ed esponenziali: risoluzione

Disequazioni logaritmiche ed esponenziali: risoluzione

Esercizi

 GONIOMETRIA

Misure degli angoli

Definizione delle funzioni gonomiometriche: seno, coseno, tangente, cotangente, secante di un arco

Funzioni goniometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante

Relazioni fondamentali tra le funzioni gonomiometriche

Somma degli archi, formule di duplicazione e di triplicazione, formule di bisezione, potenze delle funzioni goniometriche

Formule di prostaferesi e di Werner

Equazioni goniometriche e sistemi di equazioni goniometriche: risoluzione

Disequazioni goniometriche

Equazioni parametriche

 TRIGONOMETRIA

Risoluzione di un triangolo rettangolo: relazione tra gli elementi, vari casi

Risoluzione di un triangolo qualsiasi: primo teorema dei seni, teorema di Carnot, secondo teorema dei seni, formule di Briggs, formule di Delambre, formule di Nepero

Altezze, mediane e bisettrici di un triangolo: vari casi

Quadrilateri e poligoni

Applicazioni della trigonometria 

Esercizi

 NUMERI COMPLESSI

Coordinate polari

Forma algebrica dei numeri complessi

Numeri complessi coniugati

Rappresentazione geometrica di un numero complesso

Equazioni binomie: radici dell'unità

Forma esponenziale dei numeri complessi

Elevazione a potenza ad esponente razionale

Formule di Eulero

Esercizi

CALCOLO COMBINATORIO 

Disposizioni semplici

Permutazioni

Combinazioni semplici

Potenza intera e positiva di un binomio

Disposizioni, permutazioni e combinazioni con ripetizioni

Somme di potenze dei primi n numeri naturali 

 SUCCESSIONI

E

SERIE NUMERICHE

Definizione di successione

Limite di una successione

Teoremi sui limiti

Limite notevole: il numero di Nepero

Successioni estratte

Criteri di convergenza

Definizione di serie numerica

Serie geometrica e serie armonica

Condizione necessaria per la convergenza di una serie

Teoremi sulle serie numeriche

Serie numeriche a termini non negativi

Criteri di convergeza: criterio del confronto, criterio della radice, criterio del rapporto

DOMINIO DI UNA FUNZIONE 

Insieme di esistenza di una funzione

Calcolo del dominio di funzioni: algebriche intere, algebriche razionali, funzioni trascendenti

Esercizi

LIMITI DI FUNZIONI 

Definizione di limite

Limite destro, limite sinistro

Limite infinito

Teoremi e operazioni sui limiti

Limiti notevoli

Calcolo dei limiti

Infiniti e infinitesimi

Forme indeterminate

Le funzioni continue

Varie specie di discontinuità

Teoremi sulle funzioni continue

Esercizi

ASINTOTI DELLE FUNZIONI

Definizioni e classificazione degli asintoti: verticali, obliqui, orizzontali

Esercizi

 DERIVATA

 Definizione di derivata

Continuità e derivabilità

Derivata sinistra e derivata destra

Retta tangente ad un diagramma cartesiano

Operazioni con le derivate

Dimostrazione delle formule di derivazione fondamentali

Differenziale di una funzione

Teorema di Rolle

Teorema di Lagrange

Teorema di Cauchy

Regole de L'Hopital

Monotonia: massimi e minimi relativi

Formule di Taylor e di MacLaurin

Concavità e convessità

Punti di inflessione

Separazione delle radici di una equazione algebrica

Separazione delle radici di una equazione trascendente: metodo delle corde, metodo delle tangenti, metodo delle contrazioni

Curve osculatrici

Esercizi

 GRAFICO DI FUNZIONE

Procedura per lo studio del grafico di una qualsiasi funzione

Esercizi applicativi

 INTEGRALE INDEFINITO

E

INTEGRALE DEFINITO

Integrale indefinito: introduzione e proprietà

Primitive elementari

Primitive e funzioni composte

Metodi di integrazione: per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione

Integrale definito: definizioni e proprietà

Teorema della media integrale

Primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

Area di una superficie piana delimitata da due curve

Integrazione di funzioni discontinue

Integrali impropri

Integrale secondo Riemann

Calcolo approssimato degli integrali

Teoremi di Guldino

 EQUAZIONI DIFFERENZIALI

 Equazioni differenziali del primo ordine

Soluzione particolare e soluzione generale di un'eq. differenziale di primo ordine

Equazioni differenziali a variabili separabili del primo ordine

Equazioni differenziali a coefficienti omogenei

Equazioni differenziali lineari complete

Equazioni differenziale di Bernoulli

Equazioni differenziali del secondo ordine: eq. differenziale lineare omogenea e completa a coefficienti costanti

Metodo indiretto della variazione delle costante arbitraria

Problemi di Cauchy 

Esercizi

FUNZIONI DI DUE VARIABILI 

Introduzione alle funzioni di più variabili

Ricerca del dominio

Le linee di sezione e le linee di livello

Limiti e continuità

Derivate parziali

Differenziale

Massimi e minimi di una funzione di due variabili

Esercizi 

 TRASFORMAZIONE DI

LAPLACE

Operatori funzionali e la trasformata di Laplace

Le L-trasformate di alcune funzioni elementari

Proprietà della trasformata di Laplace

Antitrasformata

Equazioni differenziali con la trasformazione di Laplace

Tabella delle trasformate

Esercizi

 SERIE DI FUNZIONI

E

SERIE DI FOURIER

Successioni e serie di funzioni

Convergenza uniforme

Sviluppi in serie di potenze

Sviluppo in serie di Taylor e di MacLaurin

Introduzione alle serie di Fourier

Le serie trigonometriche e le serie di Fourier

Sviluppi in serie di Fourier delle funzioni periodiche di periodo 2h

Esercizi