Analisi matematica I/II

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Nel seguito sono illustrati i contenuti delle lezioni a livello universitario di:

  • Analisi Matematica I;
  • Analisi Matematica II;
  • Elementi di algebra lineare.

Durante le lezioni verranno presi come riferimenti i seguenti libri di testo:

  • "ANALISI MATEMATICA 1" di P. Marcellini - C.Sbordone, ed. Liguori;
  • "ANALISI MATEMATICA 1 per i C.d.L. - Polo di Ingegneria di La Spezia" Prof. F. De Mari;
  • "ANALISI MATEMATICA 2" di N. Fusco - P.Marcellini - C.Sbordone, ed. Liguori;
  • "ESERCITAZIONI DI MATEMATICA - vol.1/ vol.2 -Parte prima e parte seconda" di P.Marcellini - C. Sbordone, ed. Liguori;
  • "ESERCITAZIONI DI MATEMATICA - vol.1/vol. 2 -Parte prima e parte seconda" di A. Alvino - L. Carbone - G. Trombetti, ed. Liguori;
  • "APPUNTI DI GEOMETRIA - per il corso di Laurea in Matematica" di P.Biondi e M. Lo Re, Università degli Studi Federico II - Napoli;
  • "ANALISI MATEMATICA II - Teoria ed esercizi" di C. Canuto - A. Tabacco, ed. Springer;
  • "ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 2" di S. Salsa - A. Squellati, ed. Zanichelli; 

Le lezioni sono comprensive di dimostrazioni, esercizi numerici applicativi, simulazioni al computer e risoluzione di prove d'esame.

 

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Modulo

Argomenti

I NUMERI

E

LE FUNZIONI

REALI

Assiomi numeri reali

Teoria degli insiemi

Numeri naturali, interi, razionali

Funzioni e rappresentazione cartesiana

Funzioni invertibili, Funzioni monotone

Funzioni elementari: lineari, valore assoluto, potenza, exp, logaritmo,  trogonometriche

Principio di induzione

Esercitazioni

 

COMPLEMENTI

AI

NUMERI REALI

Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore

Rappresentazione decimale dei numeri reali

Calcolo combinatorio

I numeri complessi

Esercitazioni

 

LIMITI

DI

SUCCESSIONI

Definizione di succesione e di limite, unicità del limite

Successioni limitate

Operazioni con i limiti

Forme indeterminate

Teoremi di confronto

Teorema del prodotto di una successione limitata per una infinitesima

Limiti notevoli

Successioni monotone

Il numero e

Successioni definite per ricorrenza

Infiniti di ordine crescente

Successioni estratte: teorema di Bolzano-Weierstrass

Successioni di Cauchy e di Fibonacci

Limite inferiore e limite superiore di una successione

Esercitazioni

 

LIMITI

DI

FUNZIONI

Definizioni di limite di una funzione

Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni

Operazioni con i limiti

Funzioni continue

Discontinuità e specie di discontinuità

Teoremi sulle funzioni continue (permanenza del segno, esistenza degli zeri, esistenza dei valori intermedi, criterio di invertibilità)

Metodo di bisezione

Teorema di Weierstrass

Continuità delle funzioni monòtone e delle funzioni inverse

Punti di accumulazione

Esercitazioni

 DERIVATE

Definizione di derivata

Operazioni con le derivate

Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse (teoremi)

Derivate di funzioni elementari

Significato geometrico della derivata: retta tangente

Funzioni trigonometriche inverse, funzioni iperboliche

Esercitazioni

APPLICAZIONE

DELLE DERIVATE:

STUDIO DI FUNZIONI 

Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat

Funzioni crescenti e decrescenti: criteri di monotonia

Funzioni convesse e concave: criterio di convessità

Teorema di L'Hòpital

Studio del grafico di funzione

Continuità della funzione derivata

Metodo di Newton per il calcolo delle radici di un'equazione

Esercitazioni

INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN

Il metodo di esaustione

Defizione di integrale definito secondo Riemann

Proprietò degli integrali definiti: additività, linearità, confronto tra integrali

Uniforme continuità. Teorema di Cantor

Integrabilità di funzione continue

Teoremi della media

Funzioni lipschitziane

Esercitazioni

INTEGRALI INDEFINITI

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Primitive: formula fondamentale

Integrale indefiniti elementari

Integrazione per decomposizione in somma

Integrazione per parti

Integrazione delle funzioni razionali

Integrazione per sostituzione

Calcolo di aree di figure piane, calcolo di volumi

Integrali impropri

Esercitazioni

FORMULA DI TAYLOR

Derivazione della formula di Taylor

Resto di Peano

Resto integrale

Resto di Lagrange

Definizione di "o piccolo"

Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti

Esercitazioni

ALGEBRA LINEARE

Prime definizioni, operazioni tra matrici

Determinante di una matrice nxn

Matrici inverse

Caratteristica di una matrice

Applicazioni lineari, indipendenza lineare

Sistemi lineari

Teorema di Cramer

Metodo di eliminazione di Gauss

Teorema di Rouchè-Capelli

Autovalori ed autovettori di una matrice

Diagonalizzazione di una matrice

Esercitazioni

SERIE NUMERICHE 

 Prime definizioni

Condizione necessaria per la convergenza di una serie

Criterio di Cauchy

Serie a termini non negativi

La serie geometrica e la serie armonica

Criteri di convergenza: criterio del confronto, criterio della radice, criterio del rapporto

Serie alternate

Convergenza assoluta

Serie di Taylor

Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor

Sviluppo notevoli di funzioni

Esercitazioni

SUCCESSIONI
E
SERIE DI FUNZIONI

Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme

Continuità del limite

Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di derivata e di integrale

Serie di funzioni: convergenza assoluta, convergenza totale

Teoremi di: integrazione per serie, derivazione per serie

Serie di potenze: prime considerazioni

Raggio di convergenza e Teorema di d'Alembert

Teorema di Cauchy-Hadamard

Serie di Fourier

Convergenza puntuale delle serie di Fourier 

Esercitazioni

FUNZIONI DI DUE O PIU' VARIABILI   Spazio vettoriale R2 ed elementi di topologia di R2

Limiti e continuità di funzioni di due variabili

Derivate parziali

Derivate successive: teorema di Schwarz

Gradiente

Differenziabilità

Funzioni composte: teorema di derivazione delle funzioni composte

Derivata direzionale

Formula di Taylor

Massimi e minimi relativi: condizione necessaria del 1° e del 2° ordine, condizione sufficiente

Esercitazioni

 INTEGRALI

DOPPI E TRIPLI

 Integrali su domini normali

Integrabilità delle funzioni continue

Formule di riduzione per gli intergali doppi

Formule di Gauss-Green

Teorema della divergenza

Formule di Stokes

Cambiamento di variabili negli integrali doppi

Integrali tripli

Esercitazioni

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Introduzione alle equazioni differenziali e al problema di Cauchy

Proprietà delle equazioni differenziali lineari

E.D.L. del primo ordine

E.D.L. del secondo ordine omogenee e non omogenee

Teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale

Metodo della variazione delle costanti

E.D. di Eulero

E.D. di Bernoulli

E.D. a variabili separabili

Altre tipologie di E.Q.

Esercitazioni